Modern Algebra (7-1) 군의 정의와 예
현대대수학 (추상대수학) Hungerford 3판의 내용 중 일부를 정리했습니다.
군은 하나의 연산을 갖는 대수체계이다.
(Example ) permutation
집합 $T$의 치환(permutation)은 그 원소들의 순열을 의미한다. 예를 들어, $T=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$에는 아래와 같이 여섯 가지의 가능한 치환이 있다.
$$ \begin{aligned} 123 && 132 && 213 && 231 && 312 && 321 \end{aligned} $$
어떤 전단사(bijective)함수 $f: T \rightarrow T$를 이러한 치환을 나타내는 함수로 정의할 수 있다. 예를 들어, $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1$은 $(123) \rightarrow (231)$로의 치환을 나타낸다.
이러한 치환을 두 행으로 나누어 표현하면 아래와 같다.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$
첫째 행이 원래 순열이고, 둘째 행이 치환된 순열이다.
이와 같이 모든 치환을 나타내면 아래와 같다.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$
두 전단사 함수의 합성은 마찬가지로 전단사 함수가 되므로, 임의의 두 치환의 합성은 상기한 여섯 개의 치환 중 하나가 된다. 예를 들어, $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여
$$ \begin{aligned} f \circ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \newline \newline (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(1) = 3 \newline (f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 2 \newline (f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(2) = 1 \end{aligned} $$
따라서, $f \circ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 이다.
위 여섯 가지의 치환 집합을 $S_3$로 나타낼 수 있고, 연산 $(\circ)$는 집합 $S_3$의 연산이다. 그리고, 아래 두 성질들을 만족한다.
- (
닫힘 ) $f, g \in S_3$ 이면 $f \circ g \in S_3$이다. - (
결합법칙 ) $f, g, h \in S_3$일 때, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ - (
항등원 ) $I = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \newline 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$에 대하여, 모든 $f \in S_3$ 는 $f \circ I = I \circ f = f$를 만족한다. - (
역원 ) 임의의 전단사 함수는역원 을 갖는다. 따라서, $f \in S_3$ 이면 $f \circ g = g \circ f = I$인 $g \in S_3$가 존재한다.
대칭군
에제에서 살펴본 이러한 군을
n차 대칭군(symmetric group of degree $n$)이라 한다.
위 예제를 토대로, 주요 성질을 추상화하여 군을 정의할 수 있다.
(Def ) Group
다음 공리를 만족하는 이항연산 $\circ$ 를 갖는 공집합이 아닌 집합 $G$를 군(Group)이라 한다.
- (
닫힘 ) $f, g \in G$ 이면 $f \circ g \in G$이다. - (
결합법칙 ) $f, g, h \in G$일 때, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ - (
항등원 ) 모든 원소 $f \in G$에 대하여 $f \circ I = I \circ f = f$를 만족하는 $I \in G$가 존재한다. - (
역원 ) 각 원소 $f \in G$에 대하여 $f \circ g = g \circ f = I$인 $g \in G$가 존재한다.
그리고 Abelian Group이라 부른다.
5. (
이 밖에도 dihedral group, general linear group (e.g. $GL(2, \mathbb{Z}_2$) 등이 존재한다.
(Thm ) Cartesian product on Groups
$G$와 $H$를 각각 연산 $*$, $\circ$를 갖는 군이라 하자. $G \times H$의 연산자 $\triangle$을
$$ (g, h) \triangle (g', h') = (g * g', h \circ h') $$
와 같이 정의하면 $G \times H$는 군이다.
$G$, $H$가 Abelian group이면 $G \times H$도 abelian group이며, 두 군이 유한이면 $G\times H$도 유한군이 된다. 이 때 $|G \times H| = |G||H|$를 만족한다.