Modern Algebra (7-2) 군의 기본성질
현대대수학 (추상대수학) Hungerford 3판의 내용 중 일부를 정리했습니다.
군의 기본성질
(Thm ) Uniqueness of Identity and Inverse element
군 $G$에 대하여 $a, b ,c \in G$라 하자.
- $G$의 항등원 $e$는 유일하다.
- $G$에서 소거법칙이 성립한다. 즉, $$ \begin{aligned} a \ b=a \ c \quad \Leftrightarrow \quad b=c \newline b \ a=c \ a \quad \Leftrightarrow \quad b=c \end{aligned} $$
- $G$의 각 원소 ($a \in G$)의 역원 $a^{-1} \in G$는 유일하다.
(Thm-pf ) Uniqueness of Identity and Inverse element
- 군의 정의에 따라 군 $G$는 적어도 하나의 항등원 $e$를 갖는다. 만약 $e, e'$가 각각 군 $G$의 항등원이라 가정하면, $$ \begin{aligned} e \ e' &= e' \ e = e \newline e' \ e &= e \ e' = e' \newline \end{aligned} $$ 두 식이 동일하므로, $e = e'$이다. 즉, 하나의 항등원만 존재한다.
- 군의 정의에 따라 원소 $a$는 역원 $a^{-1}$를 갖는다. 등식의 양 변에 역원을 곱해주면 쉽게 보일 수 있다.
- 원소 $a \in G$의 역원을 $d, d'$라 가정하자. 즉,
$$
da = e = d'a
$$
를 만족하고,
2.에서 증명한 것처럼 양 변에 $a^{-1}$을 오른쪽에 곱하면 $d=d'$임을 보일 수 있다. 따라서 $a$의 역원은 하나만 존재한다. $\blacksquare$
(Cor ) Inverse
군 $G$에 대하여 $a, b \in G$이면
- $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
- $(a^{-1})^{-1} = a$
(Cor-pf ) Inverse
- 역원 관계에 있는 두 원소의 곱은 항등원이다.
$$
(ab) \cdot (b^{-1}a^{-1}) \ = \ a(bb^{-1}) a^{-1} \ = \ aea^{-1} \ = \ aa^{-1} \ = \ e
$$
마찬가지로
$$
(b^{-1}a^{-1}) \cdot (ab) \ = \ b^{-1}eb \ = \ b^{-1}b \ = \ e
$$
따라서, $b^{-1}a^{-1}$이 $ab$의 역원이고 상기한 정리에 따라
유일 하다. - $a$에 대한 역원으로 $a^{-1}$를 생각하면 아래 식이 성립한다.
$$
a \ a^{-1} = a^{-1} \ a = e
$$
또, $a^{-1}$에 대한 역원으로 $(a^{-1})^{-1}$을 생각하면 아래 식이 성립한다.
$$
a^{-1} \ (a^{-1})^{-1} = e
$$
따라서 식을 정리하면, $a^{-1} \ a = a^{-1} \ (a^{-1})^{-1}$이므로, 상기한 정리의
2.(소거 법칙)으로 증명할 수 있다. $\blacksquare$
(Thm ) Law of exponents in Group
군 $G$에 대하여 $a \in G$라 하자. 임의의 $m, n \in \mathbb{Z}$에 대하여 $$ a^m a^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{mn} $$
원소의 위수
(Thm ) Order of an element
군 $G$에 대하여 $a \in G$일 때
- $a$가 무한위수를 가지면 $k \in \mathbb{Z}$인 모든 원소 $a^k$는 모두 다르다.
- $i \neq j$에 대하여 $a^i = a^j$이면 $a$는 유한위수를 갖는다.
(Thm-pf ) Order of an element
1., 2.가 서로 대우 관계임에 주목하여 2.만 증명한다.
$i > j$에 대하여 $a^i = a^j$라 가정하면, 양 변에 $a^{-j}$ ($a^j$의 역원)을 곱해 다음을 구할 수 있다.
$$
a^{i-j} = a^{j-j} = a^0 = e
$$
이 때 $i - j > 0$ 이므로, $a$가 유한위수를 가짐을 알 수 있다.
(Thm ) Finite order of an element
군 $G$에 대하여 $a \in G$가 유한위수 $n$을 갖는 원소라면,
- $a^k = e \ \Leftrightarrow \ n | k$
- $a^i = a^j \ \Leftrightarrow \ i \equiv j ( \bmod n)$
- $d \ge 1, \ n = td \ \Rightarrow \ \textsf{ord}(a^t) = d$
(Thm-pf ) Finite order of an element
- (
$\Leftarrow$ ) $n|k \ \Leftrightarrow \ k = n \cdot t$이므로, $$ a^k = a^{nt} = (a^n)^t = e^t = e $$ ($\Rightarrow$ ) $a^k = e$ 일 때, 나눗셈 알고리즘에 따라 $k = n\cdot q + r$이고 $0 \le r < n$이다. 즉, $$ e = a^k = a^{n \cdot q + r} = (a^n)^q \cdot a^r = e \cdot a^r = a^r $$ 이를 만족하는 $r$은영 밖에 없으므로($\because$ 위수(order)의 정의: $n$이 항등원이 되는 최소의 양의 정수), $$ k = n\cdot q + 0 = nq $$ 따라서, $n | k$이다. - (
$\Leftrightarrow$ ) $a^i = a^j$이면 $a^{i-j} = e$이다. 즉,1.의 정리에 의해 $$ a^{i-j} = e \ \Leftrightarrow \ n | (i-j) $$ 약수는 곧 $(i-j) = n \cdot t$임을 의미하므로, $i \equiv j (\bmod n)$ 이다. $\newline$ 필요충분조건임을 보이는 것은 어렵지 않다. - $|a| = n$이므로, $a^t$에 대하여 $(a^t)^d = a^{td} = a^n = e$를 만족하는 정수 $d$가 있음을 보여야 한다. $\newline$
(
가정 ) $(a^t)^k = e$를 만족시키는 양의 정수 $k$를 가정하자. $\newline$ 그러면1.에 의해 $n | tk$이고, 정리하면 아래와 같다. $$ t \ k = n \cdot \mathcal{r} = (td) \cdot \mathcal{r} $$ 따라서, $k=dr$이다. 다시 말해, $a^t$에 제곱승되는 $k$는 $d$를 약수로 가짐을 의미한다. $\newline$ 정리 자체는 원소의 유한위수 $n$이 $n = td$로 인수분해 될 때, $a^t$의 위수가 정확히 $d$임을 의미한다.
(Cor ) Finite order of an element in Abelian group
군 $G$를 임의의 원소가 유한위수를 갖는
(Cor-pf ) Finite order of an element in Abelian group
(증명방법:
임의의 $a \in G$가 $|a|\not{\mid} \ |c|$라고 가정해보자. 그러면 $|c|$의 소인수분해에서 나타나는 소수 $p$의 거듭제곱보다 더 큰 $p$의 거듭제곱이 정수 $|a|$의 소인수분해에서 나타나는 소수 $p$가 존재해야한다. 수식으로 쓰면 아래와 같다. $$ \begin{aligned} |a| &= p^r \cdot m \newline |c| &= p^s \cdot n \end{aligned} $$ 이 때 $m, n$은 $\gcd(p, m) = \gcd(p, n) = 1$인 값이고 $r > s$이다.
상기한 정리의 3.으로 부터 또 아래 두 사실을 알 수 있다.
$$
\begin{aligned}
\textsf{ord}(a^m) &= p^r \newline
\textsf{ord}(c^{p^s}) &= n \newline
\end{aligned}
$$
(
따라서, $a^m \cdot c^{p^s} \in G$의 위수
따라서, $|a| \mid |c|$ 이다. $\blacksquare$