Modern Algebra. Appendix B
현대대수학 (추상대수학) Hungerford 3판의 내용을 정리했습니다.
(# ) Injective
좀 더 정형화하면 어떤 사상 $f:B \rightarrow C$에 대하여, $a, b \in B \text{ 이고 } f(a), f(b) \in C$일 때,
$$ a \neq b \rightarrow f(a) \neq f(b) $$
을 의미하는데, 이에 대한 대우를 생각해보면 아래와 같다.
$$ f(a) = f(b) \rightarrow a = b $$
예제
예제 1)
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 이고, $f(x) = 4x + 7$일 때, $$ \begin{aligned} f(a) &= f(b) \newline \Leftrightarrow (4a + 7) &= (4b + 7) \newline a &= b \end{aligned} $$ 따라서, 단사(injective) 이다.
예제 2)
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 이고, $f(x) = x^2$일 때, $$ \begin{aligned} f(3) &= f(-3) = 9 \newline \newline \therefore f(3) = f(-3) &\not \rightarrow 3 = -3 \end{aligned} $$ 따라서, 단사(injective)가 아니다.
(# ) Surjective
좀 더 정형화하면 임의의 사상 $f: B \rightarrow C$에 대하여, $\forall c \in C$가 적어도 하나의 $b \in B$에 대한 $f$의 상이 될 때를 의미한다. 즉,
$$ \exists \ b \in B : f(b) = c \ \text{ for } \forall c \in C $$
예제
예제 1)
자연수 $N = \mathbb{Z}_{\ge 0}$에 대하여, $f: \mathbb{Z} \rightarrow N$, $f(x) = |x|$ 를 살펴보자.
$\mathbb{N}$의 임의의 원소는 적어도 하나의 $\mathbb{Z}$의 원소의 $f$에 대한 상임을 쉽게 알 수 있다.
즉, $z \in \mathbb{Z}$ 가 $f$를 통해 대응되는 $\mathbb{N}$의 원소가 항상 존재하며 $z, -z$가 모두 하나의 $\mathbb{N}$의 원소($|z|$)에 대응된다.
따라서, 전사(surjective)이다.
이제 전사의 필요충분조건을 살펴본다.
우선
$$ \textsf{Im} f = \lbrace c | c = f(b) \text{ for } \forall b \in B \rbrace = \lbrace f(b) | b \in B \rbrace $$
이를 이용해 임의의 사상 $f: B \rightarrow C$가 전사일 필요충분조건을 정리하면 아래와 같다.
$$ \textsf{Im} f = C $$
즉, 공역(codomain)과 치역, 상이 모두 같은 경우를 의미한다고 볼 수 있다.
(# ) Bijective
- 유한집합 $B, C$에 대하여, $f$가 전단사일
필요충분조건 은 $B, C$가 같은 원소의 개수를 가지는 것이다. - $B$가 유한집합이고 $C \subsetneq B$ 이면, 전단사함수 $f$가 존재할 수 없다.
$f$가 무한집합에서의 사상인 경우로 확장하여, 전단사 함수의 성질을 정리할 수 있다.
(Thm ) Bijective function
함수 $f: B \rightarrow C$가 전단사일 필요충분조건은 다음과 같다.
$g \ \circ \ f = \iota_B \text{ 이고 } f \ \circ \ g = \iota_C$인 함수 $g: C \rightarrow B$가 존재한다.
(Thm-pf ) Bijective function
필요충분조건에 대한 증명이므로 두 과정을 통해 증명을 진행한다.
1) $\Rightarrow$
먼저 $f$가 bijective라 가정한다. 그렇다면,
- 전사이므로 $\exists \ b : f(b) = c \ \text{ for } \ \forall c \in C$ 이고,
- 단사이므로 $\exists ! \ b : f(b) = c$ ($b$가 유일하게 존재함!)
그러므로 $g(c) = b$인 함수를 (자연스럽게) 정의할 수 있다.
임의의 $c \in C$에 대하여 두 함수를 합성하여 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$ (f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(b) = c $$
따라서, $f \circ g = \iota_B$이다.
유사한 방법으로
$$ (g \circ f)(b) = g(f(b)) = g(c) = b $$
따라서, $g \circ b = \iota_B$이다.
2) $\Leftarrow$
함수 $g: C \rightarrow B$가 존재하고, $f$에 대하여 $f(a) = f(b)$라 가정하자.
$$ \begin{aligned} f(a) &= f(b) \newline g(f(a)) &= g(f(b)) \newline \iota_B(a) &= \iota_B(b) \newline a &= b \newline \therefore f(a) = f(b) &\rightarrow a = b \end{aligned} $$
이를 통해 $f$가
또, 임의의 $c \in C$에 대하여, $g(c) \in B$임을 이용하여
$$ \begin{aligned} f(g(c)) = (f \circ g)(c) = \iota_C(c) = c\in C \end{aligned} $$
임을 알 수 있다. 즉, $f$가 $C$에 사상하는 임의의 원소 ($g(c)$)가 존재함을 확인할 수 있다.
따라서, $f$는
그러므로, $f$는